Меню навигации

Сколько существует факторов производства

где K/L = F -- фондовооруженность производства. При этом, если \(\alpha_2 > \alpha_1\), то производство является трудоинтенсивным, если \(\alpha_2 < \alpha_1\)- фондоинтенсивным.

Введя переменные F и \(\gamma = \frac{dK}{dL}\), получим, что

\begin{displaymath}\gamma = -\frac{\alpha_2}{\alpha_1}F, \end{displaymath}

или \(\log\gamma = \log F + const,\)откуда

\begin{displaymath}\frac{d\log\gamma}{d\log F}=1, \end{displaymath}

т.е. эластичность предельной нормы замещения труда капиталом по фондовооруженности для производственной функции Кобба-Дугласа равна единице

Вместе с тем обработка эмпирической экономической статистики показывает, что эта величина может быть и не равна единице. В качестве простейшего обобщения функции Кобба-Дугласа можно предположить, что

\begin{displaymath}\frac{d\log\gamma}{d\log F}=\rho, \end{displaymath}

или

\begin{displaymath}\log(\frac{dK}{dL})=\rho\log\frac{K}{L} = \rho\log\frac{K}{L} + const, \end{displaymath}

где \(\rho\)-- некоторая константа. При этом

\begin{displaymath}\frac{dK}{dL} = C\left(\frac{K}{L}\right)^\rho. \end{displaymath}

Решая это дифференциальное уравнение, получаем

\begin{displaymath}Q(K,L) = C_0[CL^{-\rho}+(1-C)K^{-\rho}]^{-1/\rho}. \end{displaymath}

Эта производственная функция сокращенно называется CES-функция -- производственная функция с постоянной эластичностью предельной нормы замещения.

Предельная норма замещения для функции CES определяется следующей формулой:

\begin{displaymath}R = \frac{Q_L}{Q_K} = \frac{\delta}{1 - \delta}\left(\frac{K}{L}\right)^{1+\rho} \end{displaymath}

Таким образом, она зависит как от K и L, так и от \(\delta\)и \(\rho\). Выписав частные производные R по K и L, получаем:

\begin{displaymath}\frac{\partial R}{\partial K} = \frac{\delta}{1 - \delta} \frac{(1 + \rho)K^{\rho}}{L^{1 + \rho}} = \frac{(1 + \rho)R}{K} \end{displaymath}

\begin{displaymath}\frac{\partial R}{\partial L} = \frac{\delta}{1 - \delta}\fra . .1 - \rho)K^{1 + \rho}}{L^{2 + \rho}} = \frac{-(1 + \rho)R}{L}, \end{displaymath}

а эластичность замещения можно записать следующим образом:

\begin{displaymath}\sigma = \frac{d(\ln (K/L) )}{d(ln (R))} = \frac{(L/K)d(K/L)}{dR/R} = \frac{1}{1 + \rho}. \end{displaymath}

Таким образом параметр \(\rho\)характеризует эластичность замещения и вместе с тем \(\sigma\)не зависит от значений Q,K,L. Этим и объясняется название функции -- ''производственная функция с постоянной эластичностью замещения''. При увеличении затрат K и L в \(\lambda\)раз объем выпускаемой продукции изменится следующим образом:

\begin{displaymath}Q' = \gamma[(1 - \delta)\lambda^{-\rho}K^{-\rho} + \delta\lambda^{-\rho}L^{-\rho}]^{-\nu/\rho} = \lambda^\nu Q. \end{displaymath}

Перейти на страницу: 1 2 3 4 5 6